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2023 年 5 月 16 日

ハロル・バストスがQuanta Magazineに寄稿

シニアライター

2023 年 5 月 16 日

2009 年、パリ天文台の二人の天文学者が驚くべき発見を発表しました。太陽系の詳細な計算モデルを構築した後、彼らは何千もの数値シミュレーションを実行し、数十億年先の惑星の動きを予測しました。これらのシミュレーションのほとんどでは、水星の開始点を 1 メートル弱の範囲で変化させましたが、すべてが予想通りに進みました。惑星は太陽の周りを公転し続け、人類の歴史を通じて多かれ少なかれ同じような楕円形の軌道を描きました。

しかし、約 1% の確率で、文字通り、物事が横道に逸れました。水星の軌道の形状が大きく変化しました。その楕円軌道は徐々に平らになり、最終的には太陽に急落するか、金星に衝突しました。時には、宇宙を通る新たな道を切り開く際に、その行動が他の惑星を不安定にすることもありました。たとえば、火星は太陽系から弾き出されるかもしれませんし、地球に衝突するかもしれません。金星と地球は、ゆっくりとした宇宙のダンスをしながら、最終的に衝突するまでに何度か軌道を交換する可能性があります。

おそらく、太陽系は人々がかつて考えていたほど安定していなかったのでしょう。

アイザック・ニュートンが運動と重力の法則を定式化して以来、何世紀にもわたって、数学者や天文学者はこの問題に取り組んできました。太陽が及ぼす重力のみを考慮した太陽系の最も単純なモデルでは、惑星は時計仕掛けのように永遠に楕円軌道をたどります。ミネソタ大学の数学者リチャード・モッケル氏は、「なんだか心が安らぐ絵だ」と語った。「それは永遠に続き、私たちはとうに去ってしまうだろうが、それでも木星は回り続けるだろう。」

しかし、惑星間の引力を考慮すると、すべてがより複雑になります。長期間にわたって惑星の位置と速度を明示的に計算することはできなくなり、代わりに惑星がどのように動作するかについて定性的な質問をする必要があります。惑星の相互引力の影響が蓄積し、時計の仕組みが壊れてしまう可能性があるでしょうか?

パリ天文台のジャック・ラスカー氏とミカエル・ガスティノー氏が2009年に発表したような詳細な数値シミュレーションは、物事が混乱する可能性は小さいながらも現実にあることを示唆している。しかし、これらのシミュレーションは重要ではありますが、数学的な証明と同じではありません。それらは完全に正確であることはできず、シミュレーション自体が示しているように、わずかな不正確さが、何十億年ものシミュレーション期間にわたって、まったく異なる結果をもたらす可能性があります。さらに、特定の出来事がなぜ起こるのかについての根本的な説明は提供されていません。バルセロナ大学の数学者マルセル・グアルディア氏は、「どのような数学的メカニズムが不安定性を引き起こすのかを理解し、それが実際に存在することを証明したいと考えている」と述べた。

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数学者のマルセル・グアルディア氏（左）とジャック・フェジョス氏は、モデル太陽系で不安定性が発生する可能性があるという証明を求めて長年協力してきた。

ジェシカ・マセッティ

今回、合計 150 ページを超える 3 つの論文で、グアルディア博士と 2 人の共同研究者は、太陽の周りを回る惑星のモデルには必然的に不安定性が生じることを初めて証明しました。

イタリアのパドヴァ大学の数理物理学者、ガブリエラ・ピンツァリ氏は「結果は本当に素晴らしい」と語った。「著者らは、証明できる定理の中で最も美しい定理の一つを証明しました。」また、私たちの太陽系がなぜそのように見えるのかを説明するのにも役立つかもしれません。

何世紀も前に、惑星間の相互作用が長期的な影響を与える可能性があることはすでに明らかでした。水星について考えてみましょう。太陽の周りを楕円軌道で周回するには約3か月かかります。しかし、その軌道はゆっくりと回転します。600 年ごとに 1 度、200,000 年ごとに 1 回転します。歳差運動として知られるこの種の回転は、主に金星、地球、木星が水星を引っ張っている結果です。

しかし、ピエール＝シモン・ラプラスやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュのような数学の巨人による18世紀の研究は、歳差運動はさておき、楕円の大きさと形が安定していることを示しました。この直感が変わり始めたのは 19 世紀後半になってからであり、アンリポアンカレは、たった 3 つの天体を持つモデル (たとえば、2 つの惑星が周回する恒星) であっても、ニュートン方程式の正確な解を計算することは不可能であることを発見しました。「天体力学はデリケートなものです」とジョージア工科大学の数学者ラファエル・デ・ラ・リャベ氏は言う。初期条件をほんのわずかに変更すると、たとえば、ラスカーとガスティノーがシミュレーションで行ったように、ある惑星の想定位置をわずか 1 メートルずらすだけで、長いタイムスケールでシステムが大きく異なって見える可能性があります。

三体問題では、ポアンカレは考えられる動作が複雑に絡み合っていることに気づき、最初は間違いを犯したのではないかと思いました。彼がその結果の真実を受け入れたら、太陽系の安定性を当然のことと考えることはできなくなりました。しかし、ニュートン方程式を扱うのは非常に難しいため、太陽系の挙動が小規模な場合にのみ複雑で混沌としたものになるのか、たとえば惑星が予測可能な範囲内で異なる位置に配置される可能性があるのか、それともグアルディア氏と彼の共同研究者らが最終的に独自のモデルで証明したように、軌道のサイズと形状は大きく変化するため、惑星同士が衝突したり、無限の彼方へ移動したりする可能性がある。

そして 1964 年に、数学者のウラジミールアーノルドは、問題を構成するための適切な言語を確立した 4 ページの論文を書きました。彼は、力学システムの主要な変数が大きく変化する可能性がある具体的な理由を発見しました。まず彼は、自然界で遭遇するものとは似ても似つかない、振り子と回転子を組み合わせた奇妙な人工物を作りました。このおもちゃのモデルで、彼は十分な時間が与えられると、通常は一定に保たれる特定の量が大幅に変化する可能性があることを証明しました。

そこでアーノルドは、ほとんどの力学システムはこの種の不安定性を示すはずだと推測しました。太陽系の場合、これは、特定の惑星の軌道形状または離心率が数十億年にわたって潜在的に変化する可能性があることを意味する可能性があります。

しかし、数学者や物理学者は最終的に、一般的に不安定性が生じることを証明することで大きな進歩を遂げましたが、天体のモデルについてそれを示すのには苦労しました。それは、太陽の重力の影響が圧倒的に強いため、惑星によって加えられる追加の力を考慮した場合でも、時計仕掛けの惑星モデルの多くの特徴が存続するためです。 (この文脈では、ニュートン力学は現実を非常によく近似しているため、これらのモデルは一般相対性理論の影響を考慮する必要がありません。) このような固有の安定性により、不安定性の検出が困難になります。

ラプラスやラグランジュなどによる計算では非常に安定していたパラメーターが本当に大きく変化する可能性があるのでしょうか? パリ・サクレー大学のローラン・ニーダーマン氏は、「非常に弱い不安定性に対処しなければならない」と語った。通常の方法では捕らえられません。

数値シミュレーションにより、そのような証拠の探求が無駄ではないという希望がもたらされました。そして予備的な証拠もありました。たとえば、2016 年に、de la Llave と 2 人の同僚は、太陽、惑星、彗星で構成される単純化された天力学モデルで不安定性を証明しました。このモデルでは、彗星には質量がなく、したがって惑星に対する重力の影響はないと仮定されていました。この設定は、「制限付き」n 体問題として知られています。

新しい論文は、真の n 体問題に取り組み、3 つの小さな天体がはるかに大きな太陽の周りを公転する惑星系で不安定性が生じることを示しています。軌道のサイズと形状は長い時間をかけて固定値の周りを変動するかもしれませんが、最終的には劇的に変化します。

これは予想されていたことであり、この種のモデルでは安定性と不安定性が共存すると広く信じられていましたが、数学者たちがそれを初めて証明しました。

グアルディアは、パリドーフィーヌ大学のジャックフェジョズとともに、2016 年に初めて三体問題 (1 つの太陽、2 つの惑星) における不安定性の証明を試みました。彼らは、ポアンカレの雰囲気の中でカオス的な力学が生じることを示すことができましたが、この混沌とした行動が大規模かつ長期的な変化に対応していることを証明できませんでした。

グアルディア氏の下で研究しているポスドクのアンドリュー・クラーク氏が 2020 年 9 月に彼らに加わり、彼らはこの問題にもう一度挑戦して、今度はさらに惑星を加えることにしました。彼らのモデルでは、3 つの惑星が太陽の周りを公転し、互いの距離がどんどん離れていきます。重要なのは、最も内側の惑星は、2 番目と 3 番目の惑星に対してかなりの傾きで公転を開始するため、その軌道は実質的にそれらの惑星に対して直角を形成します。

この傾向により、数学者は不安定性をもたらす初期条件を見つけることができました。

彼らは、第 2 惑星のほぼすべての可能性のある離心率につながる軌道の存在を示しました。時間の経過とともに、その楕円はほぼ直線のように見えるまで平らになる可能性がありました。一方、同じ平面上で始まった第 2 惑星と第 3 惑星の軌道も、最終的には互いに直交する可能性があります。 2 番目の惑星は 180 度回転する可能性もあり、最初はすべての惑星が太陽の周りを時計回りに動いていたかもしれませんが、2 番目の惑星は最終的には反時計回りに動くことになります。カリフォルニア大学サンタクルーズ校のリチャード・モンゴメリー氏は、「100万年先を見据えていると、火星は逆の方向に進んでいると想像してみてください。」と述べた。「それは変でしょうね。」

「この単純な環境であっても、非常に乱暴な軌道を避けることはできません」とニーダーマン氏は言う。

それでも、軌道の大きさは安定していました。それは、このモデルでは、惑星が太陽の周りを歳差運動にかかる時間に比べて非常に速く移動するためで、数学者は惑星の運動に関連する「速い」変数を無視することができます。「本当に興味があるのが1000年にわたって何が起こっているかということであれば、毎年何が起こっているかを考えるのは退屈だ」とモッケル氏は言う。各楕円のサイズ (長半径または長半径で測定) の変動は平均化されます。

これは驚くべきことではありませんでした。「一般に知られているように、傾斜と離心率は長半径よりも不安定であるはずです」とグアルディア氏は述べた。しかしその後、彼と彼の同僚は、3 番目の惑星を太陽からさらに遠くに配置すると、モデルにさらに不安定性を追加できる可能性があることに気づきました。

この新しいシステムとそれを支配する方程式はより複雑で、数学者たちは結果が得られるかどうか確信が持てませんでした。しかし、「無視するには多すぎた」とクラーク氏は語った。「長半径がずれる可能性があるということであれば、それを追求する必要があるということです。」

太陽系の不安定性に関する数値研究の多くを主導してきたラスカー氏は、この種の太陽系を私たち自身と重ね合わせると、最初の惑星が太陽のすぐ近くに位置し、2番目の惑星が地球のすぐ近くにあるのが見えるかもしれないと述べた。そして、太陽系の外側の限界にあるオールトの雲のずっと外側にある第三の惑星です。（結果として、これは「非常に極端な状況」を表していると彼は付け加えた。彼はこのような状況が私たちの銀河系で必ずしも見つかるとは予想していない。）

惑星が太陽から遠ざかるほど、一周するのにかかる時間は長くなります。この場合、3 番目の惑星は非常に遠くにあるため、2 つの内側の惑星の歳差運動はより速い速度で発生します。最後の惑星の動きを平均化することはもはや不可能です。ラグランジュとラプラスは、太陽系の安定性についての説明でこのシナリオを考慮していませんでした。同じくパリ天文台の数学者アラン・シェンシネ氏は、「これは方程式の構造を完全に変えることになるだろう」と語った。懸念すべき変数がさらに増えました。

クラーク、フェジョス、グアルディアは、軌道が任意に大きくなる可能性があることを証明しました。「形状などではなく、最終的に軌道のサイズを大きくすることができました」とモッケル氏は語った。「それは究極の不安定さだ。」

これらの変化は非常にゆっくりと蓄積されたにもかかわらず、予想よりも早く発生しました。これは、現実的な惑星系では、変化が数十億年ではなく数億年にわたって蓄積される可能性があることを示唆しています。

2009 年、数理物理学者のガブリエラピンザーリは、数十年にわたって忘れられていた複雑な座標系を独自に再発見し、惑星の不安定性に関する新たな研究を可能にしました。

パドヴァ大学数学部

この結果は、太陽系の惑星がすべてほぼ同じ平面上にある軌道を持っている理由の潜在的な説明を提供します。これは、大きな傾斜角のような単純なものが、さまざまな点で大きな不安定性の原因となる可能性があることを示しています。「相互の傾向が非常に大きい状況から始めると、システムは非常に『すぐに』破壊されてしまうでしょう」とチェンシナー氏は言う。「何百、何千世紀も前に破壊されていたでしょう。」

これらの証明には、幾何学、解析、力学の技術を巧みに組み合わせて、基本的な定義に戻る必要がありました。

数学者たちは、惑星系の各構成 (惑星の位置と速度) を高次元空間内の点として表現しました。彼らの目標は、たとえば第 2 惑星の離心率や第 3 惑星の長半径の大きな変化に対応する空間を通る「高速道路」の存在を示すことでした。

そのためには、まず各点を座標という観点から表現する必要がありました。座標は非常に難解かつ複雑で、誰もその座標について聞いたこともなければ、使用しようとする人もほとんどいませんでした。 (この座標は 1980 年代初頭にベルギーの天文学者アンドレ・デプリによって発見されましたが、その後忘れ去られ、その後 2009 年にピンザリが博士論文の執筆中に独自に発見しました。それ以来、それらはほとんど使用されていません。)

デプリの座標を使用して惑星配置の高次元空間を記述することにより、数学者たちはその構造についてより深い理解を獲得しました。「これが証明の美しさの一部です。この 18 次元の幾何学をなんとか扱えるということです」とフェジョス氏は言いました。

フェホス、クラーク、グアルディアは、その空間内のいくつかの特別な地域を横断する高速道路を発見しました。次に、彼らは新たに得た幾何学的な理解を利用して、高速道路が惑星の軌道のサイズと形状の不安定な力学に対応していることを証明しました。

ニーダーマン氏は、「30年前に私が博士号を取得したとき、この種の結果からは非常に遠いところにあった」と語った。

「これは非常に複雑なシステムなので、明らかに禁止されていないことは何でも起こってしかるべきだと感じてしまうのです」とチェンシナー氏は語った。「しかし、それを証明するのは通常非常に困難です。」

数学者たちは現在、クラーク、フェジョス、グアルディアの技術を利用して、私たちの太陽系によく似たモデルの不安定性を証明したいと考えています。天文学者が他の星を周回する系外惑星をますます多く発見し、幅広い構成を明らかにするにつれて、この種の結果は特に意味を持つものになってきています。イェシヴァ大学の数学者マリアン・ギデア氏は、「これはオープンラボのようなものだ」と語る。「どのような種類の惑星系の進化が起こり得るかを紙の上で理解し、それを観察できるものと比較することは、非常にエキサイティングです。それは私たちの宇宙の物理学と、どのくらいの量の惑星が存在するかについて、多くの情報を与えてくれます。」これは私たちの数学が比較的単純なモデルを通じて捉えることができます。」

そのような比較を行うことを期待して、フェホス氏は、彼と同僚が開発したモデルに大まかにでも似ている太陽系外システムの特定について数人の天文学者と話し合ってきました。ギデアを含む他の研究者らは、この研究は人工衛星の効率的な軌道を設計したり、粒子加速器を通して粒子を高速で移動させる方法を解明したりするのに役立つ可能性があると述べている。ピンザリ氏が語ったように、「天体力学の研究は今でも非常に活発に行われています。」

最終的な目標は、私たちの太陽系が不安定であることを証明することです。「夜中に目が覚めて、そのことを考えています」とクラークさんは語った。「それが本当の夢だと思いますが、それは悪夢でしょう？私たちはめちゃくちゃになるからです。」

訂正: 2023 年 5 月 16 日この記事は、マルセルグアルディア氏がバルセロナ大学の教授であることを反映して改訂されました。 2022年夏にカタルーニャ工科大学から移籍した。

シニアライター

2023 年 5 月 16 日

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